نگاهی گذرا بر مباحث ریاضی

روشي جالب براي ضرب اعداد

ضرب يکي از چهار عمل (عملگر- operation) اصلي در حساب، و جبر مقدماتي است. علاوه ‌بر‌آن، واژة ضرب براي نام‌گذاري و توصيف عمليات گوناگون ديگر در ساير زمينه‌هاي رياضيات، نظير ضرب داخلي بردار‌ها، ضرب ماتريس‌ها، و بسياري موارد ديگر هم کاربرد دارد.

روش « شبکه اي » ابداعي « طبري» براي ضرب اعداد:

در اين روش به تعداد رقمهاي اعدادي که در هم ضرب مي شوند، ماتريسي با همان تعداد سطر و ستون ساخته مي شود. سپس عددِ هر سطر در اعداد ستونها ضرب مي شوند. يکانها در يک گوشه (مثلاً گوشة پائين سمت راست) و دهگانها در گوشة مقابل (مثلاً گوشة بالا سمت چپ) نوشته مي شوند. حال عددهاي حاصل از ضربِ اين سطرها و ستونها به صورت «قطري» با هم جمع مي شوند. توجه کنيد که عدد دهگان حاصل از جمع زدن يک قطر به قطر بعدي انـتقال مي يابد و با اعداد موجود در آن قطر جمع بسته مي شود. در نهايت، عددهاي منفرد از ضلعِ چپِ اين ماتريس تا ضلعِ مجاورِ آن (ضلع پائيني) به ترتيب نوشته مي شوند که همان «حاصلِ ضرب» دو عدد است.

براي درکِ بهتر به شکل زير توجه فرمائيد.

زندگي نامة کوتاه طبري:

ابو حَفص عُمَر بن فَرُّخان طَبَري (درگذشتة ۲۰۰ هجري / ۸۱۵ ميلادي) ستاره‌شناس و معمار ايراني و مترجم از زبان پارسي ميانه بود.

وي از مردم طبرستان بود و در سال ۸۰۰ ميلادي کتابي از دوروتئوس صيدايي را که پيشتر به پارسي ميانه ترجمه شده بود از پارسي ميانه (پهلوي) به عربي ترجمه کرد. براي مطالعة کامل تر زندگاني اين دانشمند اخترشناس و رياضي دان ايراني بر اين نشانه ها:

نشانة يک و

نشانة دو

کليک کنيد.

منابع:

ويکيپدياي فارسي – ابن فرخان طبري (نشانه)

ويکيپدياي فارسي – ضرب (رياضي) (نشانه)

براي مشاهدة سخنراني آقاي «کاسپار ريسن» دربارة «تطبيق گراف دوقسمتي براي محاسبة فاصلة تصحيح گرافها» بر اين نشانه کليک کنيد. اين سخنراني صوتي-تصويري که به زبان انگليسي و مدت آن 26 دقيقه است، در شهر آليکانت اسپانيا و در سال 2007 انجام شده است.

براي دانلود اسلايدهاي بسيار مفيد ارائه شده توسط سخنران (به صورت برنامة پاورپوئينت) بر اين نشانه کليک فرمائيد.

آقاي «ريسن» پژوهشگر مؤسسة علوم رايانه و رياضيات کاربردي دانشگاه برن (سوئيس) هستند.

آدرس اي-ميل ايشان نيز riesen@iam.unibe.ch مي باشد.

6^TH  WORKSHOP ON GBR, ALICANTE, 2007

BIPARTITE GRAPH MATCHING FOR COMPUTING THE EDIT DISTANCE OF GRAPHS

Kaspar Riesen and Horst Bunke

riesen@iam.unibe.ch

Institute of Computer Science and Applied Mathematics

University of Bern, Switzerland

جهت دریافت نسخه آزمایشی این نرم افزار به حجم ۶/۶ مگابایت بر اینجا کلیک نمائید.

استفاده از MathType بسیار آسان میباشد و برای استفاده از نمادهای موجود در نرم افزار تنها کافی است پس از انتخاب بر روی آن کلیک نماییم.
نمادها در دو گروه عمده طبقه بندی گردیده اند. گروه نخست گروهی میباشد که بسیار پر کاربرد است و در همان Tab موجود فقط با یک کلیک قابل دسترسی میباشند و گروه دوم که بیشتر نمادهای واسطه ای را شامل میگردد پس از انتخاب نماد دسته ای و انتخاب دوم در اختیار قرار میگیرند.
تقریبا کلیه نمادهای لازم برای عملیات جبر و آنالیز، آمار و احتمال، نظریه اعداد و ریاضیات گسسته در این طبقه بندی ها منظور گشته اند.
نرم افزار کاملا مستقل میباشد ولی به جهت انتقال علائم نیازمند استفاده از فونتهای ضمیمه میباشد که این امر به صورت کاملا اتوماتیک صورت میگیرد. حاصل کار از این نرم افزار تنها با یک Copy و Paste ساده قابل انتقال به سایر نرم افزارها میباشد. به طوری که نمادهای حاصل حتی در نرم افزار WordPad ویندوز نیز قابل نمایش و استفاده میباشد.
خروجی نرم افزار به صورت مستقل در سه فرمت eps ، wmf و فرمت گرافیکی gif قابل ذخیره سازی میباشد.
نرم افزار کاملا Portable میباشد و به کرک خاصی نیاز ندارد.
برای استفاده از نرم افزار تنها کافی فایل MathType.exe را از پوشه Portable MathType v.5.1 اجرا فرمایید.

متن راهنمای بالا از سایت کمیاب آنلاین انتخاب شده است.

جهت دانلود نرم افزار Math Type 5.1 به حجم ۲۱/۷ مگابایت بر اینجا کلیک کنید.

فاکتوريل دوگانه و سري ها

فاکتوريل دوگانه در سري هاي زيباي زير به کار مي رود:

                                 =   

              =  

       =  

توضيح شکل: نمودار چهار تابع مهم در رياضي.

فيبوناچي (آبي)، فاکتوريل دوگانه (قرمز)، اَبَر فاکتوريل (سبز) و هايپر فاکتوريل (ارغواني).

سري زير، مجموع معکوس فاکتوريل هاي دوگانه را به دست مي دهد (از Sloane):

   = 

        =

  =

وقتي که يک تابع گاماي ناقص پائيني است. اين مجموع، مورد خاصي از ثابت چند فاکتوريلي معکوس است.

رامانويان (Ramanuian) مجموع فشرده اي را به صورت زير ارائه داده است (Hardy 1999, p. 106):

ويپل (Whipple) در سال 1926 تعميم اين مجموع را به دست آورد (Hardy 1999, pp. 111-112).

براي مشاهده نمودارهاي ! x و !! x در يک محور مختصاتي به ادامه مطلب برويد (به دليل بزرگ بودن تصوير). 

همچنين موضوع هاي زير را ببينيد (بر روي لينکها کليک نمائيد):

Barnes G-Function, Factorial, Gamma Function, Multifactorial

منابع اصلی:

مراجع:

روابط بين فاکتوريل دوگانه و فاکتوريل عادي

فاکتوريل دوگانه نيز ميتواند به عددهاي صحيح فرد منفي با استفاده از تعريف

   =  

  =

براي n=0, 1, … (Arfken 1985, p. 547) بسط داده شود.

به طور مشابه، فاکتوريل دوگانه ميتواند به آرگومانهاي مختلط به صورت زير بسط يابد:

مشخصه هاي بسيار زيادي وجود دارند که فاکتوريل دوگانه را به فاکتوريلها مربوط ميسازند؛ مانند...

                        ( لطفا بر روي لينک ادامه مطلب کليک فرمائيد )

فاکتوريل دوگانة يک عدد صحيح مثبت n تعميمي از فاکتوريل عادي n! است و به صورت

تعريف مي شود.

توجه کنيد که بنا بر تعريف ارفکن داريم !!0 = !! 1- (Arfken 1985, p. 547). نمادگذاري n!! به صورت گسترده شناخته نشده است و در Cajori ذکري از آن به ميان نيامده است (Cajori, 1993).

براي n = 0, 1, 2, … نخستين مقدارها عبارتند از 1، 1، 2، 3، 8، 15، 48، 105، 384 و ... (Sloane). تعداد رقمهاي دهدهي در !!(10ⁿ) براي n=0, 1, … عبارتند از

1، 4، 80، 1285، 17831، 228289، 2782857، 32828532 و... (Sloane).

فاکتوريل دوگانه در Mathematica به شکل n!! يا Factorial2 آمده است.

فاکتوريل دوگانه مورد ويژه اي از چندفاکتوريل (مالتي فاکتوريل multifactorial) به شمار ميرود.

فاکتوريل دوگانه مي تواند بر حسب تابع گاما و به شکل

بيان شود (Arfken 1985, p. 548).

پايان بخش نخست

منابع

www.mathworld.wolfram.com

www.en.wikipedia.org

انتقادهائي بر کتاب «اصول» اقليدس

اگر بخواهيم کتاب «اصول» اقليدس را با ديد انتقادي بررسي کنيم، متوجه مي شويم بسياري از پيش فرضهاي خود را بيان نکرده است؛ از جمله اين که خط و نقطه وجود دارند، همه نقطه ها بر يک امتداد نيستند و هر خط دست کم دو نقطه دارد.

اگر ما اصول هندسه را انتزاع هايي از تجربه بدانيم، بلافاصله تفاوت اين اصل و چهار اصل ديگر مشخص مي شود. به هيچ وجه نمي توانيم به طور تجربي تحقيق کنيم که آيا دو خط همديگر را مي برند يا نه.

مشکل: اصل پنجم اقليدس

چهار اصل اول همواره مورد توافق رياضيدانان بوده اند. اما آن چه در اين ميان بسياري از هندسه دانان را به خود مشغول مي داشت نه معناي کلي هندسه، بلکه اصل موضوع پنجم بود. اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود. به نظر مي رسيد که اين اصل پيچيده تر از آن باشد که بتوان آن را به عنوان اصل موضوع پذيرفت و موجب زحمت فكري بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بدون نگراني پذيرفت و از سوي ديگر قابل اثبات هم نبود. در طي قرنها، تلاش بسياري از سوي رياضيدانان مسلمان و اروپايي براي پيدا کردن راهي جهت کنار گذاشتن اين اصل صورت گرفت. از همان آغاز كساني دچار دودلي شدند و وقت بسياري را براي اثبات آن يا قرار دادن اصلي به جاي آن صرف كردند. اين كوشش ها هرچند به نتيجه قطعي نرسيدند، راه را براي رسيدن به نتيجه مهمتري گشودند...

                                     ( لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

حدود سیصد میلیون نفر در سراسر جهان، آغاز بهار طبیعت را با نوروز (New Day) جشن می گیرند.

متاسفانه این روز مهم در هیچ تقویمی از «سازمان ملل متحد» یا سازمان های وابسته به آن ثبت نشده است. با امضای اینـترنتی در آدرس زیر، به ثبت آن کمک کنید. پیش از این امضا باید یک آدرس ایمیل برای خود تهیه کنید.

۱- ابتدا بر روی (اینجا) کلیک کنید.

۲- بر روی لینک (Click Here to Sign Petition) در انتهای صفحه کلیک کنید تا به صفحه بعد بروید.

3- در صفحه جدیدی که باز می شود، به ترتیب نام و نام خانوادگی، آدرس ایمیل، نام شهر و کشور محل سکونت خود (مثلا Tehran, Iran) را به انگلیسی وارد نمائید.

4- بر روی لینک (Preview Your Signature) کلیک نمائید تا پیش نمایه امضای شما نمایان شود.

5- در صفحه جدیدی که باز خواهد شد، روی لینک (Approve Signature) کلیک کنید. امضای اینـترنتی شما انجام شده است.

خواهشمند است جهت ثبت هر چه سریعـتر این میراث ارزشمند پارسی، امضای آن را به دیگران نیز توصیه کنید.

شهادت جگر گوشه پیامبر اسلام (ص) را به تمامی شیعیان و دوستدارانش تسلیت میگوئیم.

در شکل زیر AB قطر دایره به مرکز O و شعاع r است. OB قطر دایره به مرکز O' است.

وتر AD در نقطه E بر دایره O' مماس است.

اگر DF عمود بر AB باشد و BF = x، ثابت کنید که: x = 2r/9 .

کاربرد ریاضیات در روانشناسی

مغز و ذهن انسان به راحتی می تواند « شرطی» شود. این مطلب را با یک پرسش تصویری جالب بررسی می کنیم.

مربع بزرگی که در شکل زیر می بینید به سه بخش L شکل کاملا مساوی (با شماره های 1، 2 و 3) و یک مربع کوچک تقسیم شده است. در مراحل مختلف، به پرسش های مطرح شده پاسخ دهید. این پرسش ها به طور معمول از آسان به دشوار طراحی شده اند. توصیه می شود مساله را خودتان حل کنید. این سئوالات چندان دشوار نیستند. به هر حال، توصیه می شود از دیدن سریع راه حل تصویری خودداری نمائید.

( لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

زندگی نامه نیلز هنریک آبل

نابغه ریاضی قرن نوزدهم

ترجمه و تـدوین: فخری بساره

نیلز هنریک آبل Niels Henrik Abel یکی از بزرگترین ریاضیدانان قرن نوزدهم و احتمالا بزرگترین نابغه برخاسته از کشورهای اسکاندیناوی (نروژ، سوئد و فنلاند) است. آبل همراه با معاصرانش یعنی گاوس و کوشی، یکی از پیشگامان ابداع ریاضیات نوین بوده است که بر اثبات دقیق تاکید دارد. زندگی او در واقع آمیزه ای بود از خوشبـینی شوخ طبعانه در هنگامی که تحت فشار فقر و گمنامی قرارداشت. دستاوردهای درخشان و فراوانی درایام جوانی بر جای نهاد و در کنار کارهای بسیار مهمی که انجام داد، متواضع بود و در مبارزه با بیماری با مرگی زودرس به آرامی تسلیم شد.

آبل یکی از شش فرزند کشیش فقیری در یکی از روستاهای حومه شهر فینوی کشور سردسیر نروژ و متولد سال 1802 میلادی بود ...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

فـاکـتوریـل، تعریف و کاربردها

ترجمه: ابوالفضل گروئی

از دانشنامه آزاد ویکیـپـدیـا

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial

در ریاضیات فاکتوریل یک عدد صحیح نامنفی n که به صورت !n نمایش داده می شود، حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کمتر از یا برابر با  n است. برای نمونه،

و

نماد !n را کریستین کرامپ (Christian Kramp) در سال 1808 وارد کرد.

 (لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

انـتـگرال بـیضـوی

مترجمان: فخری بساره - ابوالفضل گروئی

از دانشنامه آزاد ویکیـپدیـا

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral

در حساب انتگرال، انتگرالهای بیضوی اصولا در ارتباط با مساله طول کمان بیضی مطرح می شوند. این انتگرال ها را برای اولین بار جیولیو فاگنانو (Giulio Fagnano) و لئونهارد اویلر (Leonhard Euler) بررسی کردند. ریاضیات نوین، انتگرال بیضوی را به عنوان هر تابع f که بتواند به شکل زیر بیان شود، تعریف میکند:

وقتی R تابع گویای دو آرگومان آن، P ریشه دوم یک چند جمله ای درجه سه یا چهار بدون ریشه های تکراری و c یک ثابت است.

در کل، انتگرال های بیضوی نمی توانند بر حسب توابع اولیه بیان شوند. استثناها برای این قاعده کلی وقتی است که P ریشه های تکراری دارد یا وقتی که (R(x,y شامل توان های فرد y نباشند. به هر حال، با فرمول تحویل مناسب، هر انتگرال بیضوی می تواند به شکلی که انتگرالهائی را روی توابع گویا و سه شکل متعارف (برای نمونه، انتگرالهای بیضوی نوع اول، دوم و سوم) در بر گیرد، درآید.

در کـنار فـرم هـائی که در زیـر داده شده انـد، انـتگـرال های بـیـضـوی نـیـز مـمکن است به صـورت لـژانـدر (Legendre form) و صورت متقارن کارلسون (Carlson symmetric form) بیان شوند. بینش بیشتر در نظریه انتگرال بیضوی می تواند از طریق بررسی نقشه نگاری شوارتز-کریستوفل حاصل شود ...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

 سئوالات متداول در مورد ریاضیات و مهندسی

ترجـمه: ابوالفضل گروئی

از سایت دانشگاه « بریستول» انگلستان

http://www.enm.bris.ac.uk

ریاضیات مهندسی چیست؟

موضوع آن کاربرد ریاضیات و حساب کردن برای مسائل مهندسی نوین است.

با چند مثال چطورید؟

در اینجا نقل قولی از کتاب «بازی، مجموعه و ریاضی»^* نوشته ریاضیدان برجسته انگلیسی و ترویج کننده علم « یان استوارت» آورده می شود:

« ریاضیات اساس شیوه زندگی ما هستند. چه تعداد از مردمی که یک برنامه تلویزیونی را تماشا می کنند، درک می کنند که بدون ریاضیات چیزی برای تماشا وجود نداشت؟ ریاضیات یکی از اجزای مهم در کشف امواج رادیوئی بود. ریاضیات، طرح مدارهای الکترونیکی را که سیگنالها را پردازش می کند، کنـترل می نماید. وقتی تصویر روی صفحه در درون لامپ برچیده می شود و می چرخد تا تصویر دیگری را ظاهر کند، حجم ریاضیاتی که مانند گرافیک رایانه ای وارد زندگی شده است، به درستی معلوم نیست... چند سال پیش، گواهی است بر یکی شدن دوباره ریاضیات محض و کاربسته...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

توپولوژی

ترجمه: فخری بساره

منبع: سایت «www.dsto.defence.gov.au»

توپولوژی یک شبکه به «شکل» آن اشاره دارد، یعنی گره ها چگونه متصل شده اند. چند نمونه از توپولوژی شبکه به شکل زیر هستند:

از راست به چپ:

شبکه تصادفی(عدد جهش میانگین 8/2 اکثرا سه اتصاله)

  شبکه بی مقیاس(عدد جهش میانگین 9/2 اکثرا دو اتصاله)

شبکه منظم(عدد جهش میانگین 5/3 چهار اتصاله)

شبکه درختی(عدد جهش میانگین 0/4 یک اتصاله)

شبکه حلقوی مضاعف(عدد جهش میانگین 1/8 سه اتصاله)

توپولوژیهای مختلف شبکه خواص متفاوتی دارند...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید) 

شبکه های جهانی کوچک

ترجمه: ابوالفضل گروئی

منبع: سایت «www.dsto.defence.gov.au»

 شبکه های جهانی کوچک که توسط دونکان واتس و استون اشتروگاتز توسعه یافت، با در نظر گرفتن یک شبکه حلقه مانند (ring-like network) منظم و با جایگزین کردن تعداد کمی از اتصالهای اولیه با اتصالهای تصادفی در میان شبکه ساخته میشوند.

شبکه تصادفی              شبکه جهانی کوچک              شبکه حلقوی منظم

میانگین جهش ۵/۲          میانگین جهش ۱/۳             میانگین جهش ۱/۴ 

جهت افزایش بی نظمی از چپ به راست

این مطلب، بیانگر اهمیت عدد «جهش» متوسط برای رفتن از یک گره در شبکه به گره دیگر است که با زمان سپری شده برای ارسال یک پیام از میان شبکه در ارتباط است. حتی یک عدد «اتصال عرضی» (cross-link) کوچک میتواند به طور قابل توجه عدد میانگین «جهش» را کاهش دهد و شبکه ای که به طور کاملا تصادفی متصل شده است، نمیتواند آنرا بیشتر بهبود دهد.

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

جنگ در میانه شبکه

« شبکه های بی مقیاس»

ترجمه: فخری بساره

منبع: www.dsto.defence.gov.au

شبکه های بی مقیاس (Scale-Free networks) که توسط رکا آلبرت و آلبرت-لازلو باراباسی گسترش یافتند، با فرآیند اتصال ترجیحی رشد میکنند. نمودار زیر یک شبکه بی مقیاس دو اتصاله است؛ یعنی هر گره (node) جدید به یک یا دو گره موجود متصل میشود. اتصالهای تازه به طور ترجیحی به سمت گره های «قطب» (مرکزی-hub) جهت گیری میکنند و در نتیجه شبکه های بی مقیاس، عددی کوچکتر از «قطبها»ی با اتصال بسیار خوب دارند.

مانند شبکه های تصادفی (Random networks) و شبکه های جهانی کوچک (Small-World networks)، شبکه های بی مقیاس عدد «جهش» (hops) متوسط کوچکی برای رفتن از یک گره در شبکه به گره دیگر دارند. این مطلب با زمان صرف شده برای ارسال یک پیام از عرض شبکه در ارتباط است (توپولوژی را ببینید).

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)